最小生成树算法

最小生成树算法 #

  • 连通图:在无向图G中,若从顶点i到顶点j有路径,则称顶点i和顶点j是连通的。若图G中任意两个顶点都连通,则称G为连通图。

  • 生成树:一个连通图的生成树是该连通图的一个极小连通子图,它含有全部顶点,但只有构成一个数的(n-1)条边。

  • 最小生成树:对于一个带权连通无向图G中的不同生成树,各树的边上的 权值之和最小。构造最小生成树的准则有三条:

    • 必须只使用该图中的边来构造最小生成树。
    • 必须使用且仅使用(n-1)条边来连接图中的n个顶点。
    • 不能使用产生回路的边。

Prim算法 #

假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的带权连通无向图,T(U,TE)是G的最小生成树,其中U是T的顶点集,TE是T的边集,则由G构造从起始顶点v出发的最小生成树T的步骤为:

  • 初始化U={v},以v到其他顶点的所有边为候选边(U中所有点到其他顶点的边)。

  • 重复以下步骤(n-1)次,使得其他(n-1)个顶点被加入到U中。

    • 从候选边中挑选权值最小的边加入TE,设该边在V-U(这里是集合减)中的顶点是k,将k加入U中。

    • 考察当前V-U中的所有顶点j,修改候选边,若边(k,j)的权值小于原来和顶点j关联的候选边,则用(k,j)取代后者作为候选边。

Kruskal算法 #

假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的带权连通无向图,T(U,TE)是G的最小生成树,其中U是T的顶点集,TE是T的边集,则由G构造从起始顶点v出发的最小生成树T的步骤为:

  • 置U的初始值等于V(即包含G中的全部顶点),TE的初始值为空

  • 将图G中的边按权值从小到大的顺序依次选取,若选取的边未使生成树T形成回路,则加入TE,否则放弃,知道TE中包含(n-1)条边为止。