最短路径算法

最短路径算法 #

Dijkstra —— 贪心算法 #

从一个顶点到其余顶点的最短路径

G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第1组为已求出最短路径的顶点(用S表示,初始时S只有一个源点,以后每求得一条最短路径v,...k,就将k加到集合S中,直到全部顶点都加入S)。第2组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序把第2组的顶点加入S中。

步骤:

1. 初始时,S只包含源点,即`S={v}`,顶点v到自己的距离为0。U包含除v外的其他顶点,v到U中顶点i的距离为边上的权。
2. 从U中选取一个顶点u,顶点v到u的距离最小,然后把顶点u加入S中。
3. 以顶点u为新考虑的中间点,修改v到U中各个点的距离。
4. 重复以上步骤知道S包含所有顶点。

Floyd —— 动态规划 #

Floyd 算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权(但不可存在负权回路)的最短路径问题。该算法的时间复杂度为 \(O(N^{3})\) ,空间复杂度为 \(O(N^{2})\)

\(D_{i,j,k}\) 为从 \(i\) \(j\) 的只以 \((1..k)\) 集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

$$ D_{i,j,k}=\begin{cases} D_{i,j,k-1} & 最短路径不经过 k\
D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1} & 最短路径经过 k \end{cases} $$

因此, \(D_{i,j,k}=min(D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1},D_{i,j,k-1})\) 。伪代码描述如下:

// let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
 for each vertex v
    dist[v][v] ← 0
 for each edge (u,v)
    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
 for k from 1 to |V|
    for i from 1 to |V|
       for j from 1 to |V|
          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]
             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
         end if